由参数方程所确定的函数的导数
当函数由参数方程
()
确定时,在不消去的情况下,利用微分可以求出对的导数,方法如下:由于
, ,
因导数就是微商,所以,即
. ()
由参数方程()所确定的函数的导数通常由公式(2.5.8)求得.
例已知由参数方程所确定的函数,求导数.
解由(),有
,
即.
例已知,求及.
解,
.
例中,由于一阶导数仍然是用参数表示,所以求二阶导数时应继续按照(2.5.8)来求.因此,.
习题二
设,试按导数定义求.
设,试按导数定义求.
假定存在,按照导数定义观察下列极限,指出表示什么:
(1);
(2) ,其中,且存在.
利用基本导数公式求下列函数的导数:
(1) ; (2) ; (3) ; (4) .
求曲线在点(1, 1)处的切线方程.
求曲线在具有下列横坐标的各点处的切线斜率:;.
求曲线在点()处的切线方程和法线方程.
在抛物线上取横坐标为及的两点,过这两点做一条割线.试问抛物线上哪点的切线平行于这条割线?
已知物体的运动规律为,求这物体在时的速度.
若电流通过一导体的的电量与时间的函数关系为,怎样确定该导体在时间时的电流强度?
讨论函数在处的连续性与可导性.
设函数,为了使函数在处连续且可导,、应取什么值?
已知,求及,并由此判断是否存在.
求下列函数的导数:
(1) ; (2) ; (3)
(4) ; (5) ; (6) ;
(7) ; (8) ; (9);
(10) ; (11) ; (12) ;
(13) ,(、、为常数);
(14) ; (15) ; (16) .
求下列函数在给定点的导数:
(1) ,求和;
(2) ,求;
(3) ,求和.
写出曲线与轴交点处的切线方程.
求下列函数的导数:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) ;
(9) ; (10) ;
(11) ; (12) ;
(13) ; (14) ;
(15) ; (16) ;
(17) ; (18) ;
(19) ; (20) ;
(21) ; (22) .
求由下列方程所确定的隐函数的导数:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) .
用对数求导法求下列函数的导数:
(1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) .
求下列函数的微分:
(1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) .
求由下列参数方程所确定的函数的导数:
(1) (2) (3) (4)
已知,当时,求的值.
求下列函数的二阶导数:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) ;
(7) (8)
求下列函数的指定阶导数:
(1) ,求; (2) ,求;
(3) ,求; (4) ,求.
求曲线当的相应点处的切线方程.