函数四则运算的求导法则

1.函数和、差的求导法则

定理(函数和、差的求导法则) 如果函数及在点具有导数及，则在处可导，且

.

证设，则根据定义，有

,

这表明函数在点处仍然可导，且有等式

，

即 ；

同理.

定理可直观地表述为：两个可导函数和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).

定理可推广到任意有限个可导函数和(差)的情形. 以三个可导函数的和(差)为例，有以下推论:

推论 如果函数可导，则函数也可导，且

.

例求函数的导数.

解 由定理1的推论,有

.

2.函数积的求导法则

定理(函数积的求导法则)如果函数及在点具有导数及，则在处可导，且

.

证设，则由导数定义得

,

其中，是因为存在，所以在点连续. 由此，函数在点处也可导，且

,

即 .

定理表明：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积.

如果定理中 (是常数)，则有下列推论：

推论1如果可导，是常数，则

.

即：求一个常数与一个可导函数乘积的导数时，常数可以提到求导符号外面去.

定理的求导法则可以推广到任意有限项的情形. 以三个可导函数的乘积为例，有如下推论:

推论2如果函数可导，则函数也可导，且

.

例 求的导数.

解由定理，有

.

例，求及.

解

,

即 ,

故 .

3.函数商的求导法则

定理(函数商的求导法则)如果函数及在点具有导数及，且，则在处可导，且

.

证

,

所以，函数在处也可导，且

.

定理说明：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积，减去分子与分母导数的乘积，再除以分母的平方.

例求与的导数.

解由定理，有

,

即 ；

同理可得: .

定理中，如，则有如下推论:

推论.

例求与的导数.

解由定理的推论，有

，

即 ；

同理，有.

例求的导数.

解

.