由参数方程所确定的函数的导数

当函数由参数方程

()

确定时，在不消去的情况下，利用微分可以求出对的导数，方法如下：由于

， ，

因导数就是微商，所以，即

. ()

由参数方程()所确定的函数的导数通常由公式(2.5.8)求得.

例已知由参数方程所确定的函数，求导数.

解由()，有

，

即.

例已知，求及.

解，

.

例中，由于一阶导数仍然是用参数表示，所以求二阶导数时应继续按照(2.5.8)来求.因此，.

习题二

设，试按导数定义求.

设，试按导数定义求.

假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出表示什么：

(1)；

(2) ，其中，且存在.

利用基本导数公式求下列函数的导数：

(1) ； (2) ； (3) ； (4) .

求曲线在点(1, 1)处的切线方程.

求曲线在具有下列横坐标的各点处的切线斜率：；.

求曲线在点()处的切线方程和法线方程.

在抛物线上取横坐标为及的两点，过这两点做一条割线.试问抛物线上哪点的切线平行于这条割线？

已知物体的运动规律为，求这物体在时的速度.

若电流通过一导体的的电量与时间的函数关系为，怎样确定该导体在时间时的电流强度？

讨论函数在处的连续性与可导性.

设函数，为了使函数在处连续且可导，、应取什么值？

已知，求及，并由此判断是否存在.

求下列函数的导数：

(1) ； (2) ； (3)

(4) ； (5) ； (6) ；

(7) ； (8) ； (9)；

(10) ； (11) ； (12) ；

(13) ，(、、为常数)；

(14) ； (15) ； (16) .

求下列函数在给定点的导数：

(1) ，求和；

(2) ，求；

(3) ，求和.

写出曲线与轴交点处的切线方程.

求下列函数的导数：

(1) ； (2) ；

(3) ； (4) ；

(5) ； (6) ；

(7) ； (8) ；

(9) ； (10) ；

(11) ； (12) ；

(13) ； (14) ；

(15) ； (16) ；

(17) ； (18) ；

(19) ； (20) ；

(21) ； (22) .

求由下列方程所确定的隐函数的导数：

(1) ； (2) ；

(3) ； (4) ；

(5) ； (6) .

用对数求导法求下列函数的导数：

(1) ； (2) ； (3) ；

(4) ； (5) ； (6) .

求下列函数的微分：

(1) ； (2) ； (3) ；

(4) ； (5) ； (6) .

求由下列参数方程所确定的函数的导数：

(1) (2) (3) (4)

已知，当时，求的值.

求下列函数的二阶导数：

(1) ； (2) ；

(3) ； (4) ；

(5) ； (6) ；

(7) (8)

求下列函数的指定阶导数：

(1) ，求； (2) ，求；

(3) ，求； (4) ，求.

求曲线当的相应点处的切线方程.