无穷小量阶的比较

无穷小量是收敛于零的变量，但不同的无穷小量收敛于零的快慢程度有所不同.考察两个无穷小量比值的极限，以便对它们的收敛于零的快慢程度作出判断，称这一过程为无穷小量阶的比较.具体的比较如下：

定义(无穷小量阶的比较) 设时函数、都是的无穷小量，

1. 如果，则称时为的高阶无穷小量，亦称为的低阶无穷小量. 记为：

()；

如果，则称时与为同阶无穷小量，记为：

().

特别地，若，称时与为等价无穷小量. 记为：

().

例 (1) 时， 都是无穷小量.由于

，，

故是在时的高阶无穷小量，即

()，.

(2) 当时，由于，所以与为同阶无穷小量. 如果规定时为一阶无穷小，则为二阶无穷小，也为二阶无穷小.

(3) 由于，则时与为等价无穷小量，即

()；

同理， ().

需要指出的是，并不是任意两个无穷小量都可以进行比较. 如，当时，无穷小量与就不能比较，因为它们的比或，在时极限都不存在.

在求两个无穷小量之比或乘积的极限时，利用等价无穷小量可以简化计算.其依据是下述定理：

定理 (等价无穷小替代定理) 若时，，且，则.

例.

解由于，()，所以，.

将常见的等价无穷归纳如下：设，则

，

，.

例利用等价无穷小求极限：

(1) .

解由于时，，，故

.

(2) .

解.